donde K es el número máximo de Gaussianas utilizadas para realizar la estimación del modelo (normalmente varía entre tres y cinco funciones distintas), G() representa cada una de las Gaussianas utilizadas, w son las ponderaciones que tienen cada una de las curvas, le media y la varianza son los parámetros estadísticos y Z es el valor del píxel en cuestión (magnitud vectorial perteneciente a R3).
Si asumieramos que trabajamos con imágenes en escala de grises, y el valor de K=5, el histórico de un pixel sería algo así:
Dicha estimación se utiliza para obtener un modelo de fondo y decidir si el píxel en cuestión se corresponde con el modelo de fondo o con un objeto de primer plano. En este caso, las Gaussianas representan tanto el fondo como el primer plano. Para decidirlo se aplicará un criterio de manera dinámica. De esta forma será posible introducir los objetos de primer plano en el modelo de fondo cuando permanezcan estáticos en la escena, asignando la Gaussiana correspondiente a fondo.
Para ello, cada píxel (i,j) de la imagen (donde i y j son los índices que representan la posición de fila y columna que ocupa el píxel dentro de la imagen) se modela como una combinación de distribuciones Gaussianas , relacionándose entre sí a partir de los factores de ponderación , que se modifican iterativamente en función de las veces que se da el valor que recogen, formando así el modelo probabilístico del píxel.
Los factores de ponderación se normalizan a fin de conseguir que el sumatorio total sea 1:
Consideramos que el fondo queda modelado por las B distribuciones Gaussianas de mayor peso y menor varianza
donde T es el umbral de decisión asignado (usualmente 0.6), y B es el número mínimo de distribuciones a incluir en el sumatorio , para que se cumpla la inecuación. Las distribuciones que ordenadas según el criterio del factor de ponderación entre la varianza. Este valor aumentará tanto si la evidencia de la distribución aumenta, como si su varianza disminuye.
El valor de T mide la mínima proporción de los datos que debe ser contemplada como background. Un valor bajo de T se usaría para fondos unimodales, y un valor elevado de T para distribuciones multimodales producidas por movimientos repetitivos en el fondo (arboles, banderas,…).
Las B primeras distribuciones Gaussianas serán las que modelarán la función de densidad de probabilidad del fondo, puesto que normalmente es más estático y aparece con más frecuencia, correspondiéndose con aquellas Gaussianas que han sido utilizadas más veces y que son más compactas.
Para comprobar si el valor del píxel de entrada encaja en alguna distribución Gaussiana del modelo probabilístico del píxel, se evalúa la siguiente inecuación:
Xt es el valor de un canal de color del píxel estudiado en el fotograma t, Ui,t es la media de la Gaussiana i-ésima y Oi,t la desviación estándar de la Gaussiana i-ésima.
Pueden darse dos casos, o que la inecuación de cumpla para todas las Gaussianas, o que no se cumple para alguna Gaussina. La forma de actuar sería la siguiente:
1- Si se cumple para todas las Gaussianas, se decide que el pixel es primer plano, puesto que no encaja con el modelo probabilístico del píxel aprendido hasta el momento. En este caso, se generará una nueva Gaussiana con el fin de permitir adaptar el modelo al fondo, eliminando la distribución con menor peso.
2- Si no se cumple para una Gaussiana, se supone que el valor encaja con el modelo probabilístico modelado mediante la misma (si la inecuación no se cumple para más de una Gaussiana, se supondrá que la función que mejor representa al píxel es la de menor varianza). En este caso, pueden darse dos casuísticas:
2.1.- si el valor del píxel encaja con una de las B primeras distribuciones Gaussianas se asignará a fondo, debido a que la frecuencia con la que ha aparecido es lo suficientemente elevada como para que sea considerado fondo.
2.2.- sino, se decidirá que pertenece al primer plano.
En cuanto a la actualización del modelo, se tendrán en cuenta las siguientes ecuaciones:
1- Actualización de la media y la varianza, que afecta sólo a la distribución Gaussiana que haya encajado
2- Actualización de los pesos , que afectará a todas las distribuciones que conforman el modelo
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